OpenQASM 量子回路講座

この教材は、量子力学の用語集ではありません。量子回路を『入力を準備し、操作し、最後に0/1を読む手順』として学びます。抽象語を暗記せず、同じ回路を何度も実行したときの結果を予測できることを目標にします。

全体の学習順

Chapter 13〜18の一本道

この本で使う6段階テンプレート

• •結果を見る: 何を何回測ると、0と1が何回出るか。
• •言葉を付ける: 見た結果または計算手順にだけ新語を付ける。
• •数字で追う: 状態の数字を一行ずつ更新する。
• •回路図で追う: 左から右へ同じ操作を追う。
• •OpenQASMで追う: 上から下へ同じ操作を追う。
• •予測する: 実行前に結果を答えてから確認する。

0.1 まず普通のbitから

普通のコンピュータが扱うbitは、読んだ瞬間に0か1のどちらかです。電圧が低ければ0、高ければ1という実装が代表例です。ここでは物理方式ではなく、『答えが0か1の1桁』だけを使います。

0.2 量子回路も最後は0か1を返す

量子ビットは途中で古典bitより多くの状態を持てます。しかし最後に通常の方法で測ると、1回の実行から得られる答えは0か1のどちらか1つです。途中の状態と、最後に読める答えを混同しないことが最初のポイントです。

0.3 回路図は処理の時間表

横線1本は同じqubitの時間の流れです。左が開始、右が終了です。線上の箱は、その時点で状態を変える命令です。測定記号の位置で0/1を読みます。

0.4 OpenQASMは同じ手順を文字で書く

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit q;
bit result;
reset q;
result = measure q;

0.5 最初の実験

1.1 まず結果だけを見る

Xを1回

1.2 Xを2回かける

|0> → X → |1> → X → |0>です。最初へ戻るので、Xは自分自身が逆操作です。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit q;
bit result;
reset q;
x q;
result = measure q;

2.1 1回の結果だけでは割合は分からない

ある準備から0が出やすいのか1が出やすいのかを知るには、同じプログラムを最初から何度も実行します。各回は新しいqubitを準備する独立した実験です。

2.2 OpenQASMと実行サービスの役割を分ける

OpenQASMは『1回のプログラムで何をするか』を書きます。1000 shots実行する設定、実行先のシミュレータや実機の選択、集計グラフの作成は、通常SDKや実行サービス側の仕事です。

3.1 状態カード [a, b]

1qubitの測定前の状態を、2個の数字 [a, b] で記録します。左のaは0側、右のbは1側の数字です。この教材では、まず実数だけを使います。

3.2 √2を怖がらない

√2は『2乗すると2になる正の数』で、約1.414です。1/√2は約0.707で、2乗すると1/2になります。したがって [1/√2, 1/√2] は0と1が50%ずつになる状態カードです。

3.3 マイナスの振幅も確率は正になる

[1/√2, -1/√2]でも、2乗すれば0側も1側も1/2です。直後に測るだけなら、プラスかマイナスかは回数分布に見えません。しかし後のゲートは振幅を足し引きするため、符号の違いが別の測定結果へ変わります。

4.1 Hの規則は2つ

Hゲートは入力の0側振幅aと1側振幅bから、新しい2個の振幅を作ります。新しい0側は(a+b)/√2、新しい1側は(a−b)/√2です。最初はこの式へ数字を代入するだけで十分です。

4.2 |0>へHをかける

|0>の状態カードは[1,0]です。0側は(1+0)/√2=1/√2、1側は(1−0)/√2=1/√2。したがってH|0>=[1/√2,1/√2]です。測定すると0と1が50%ずつです。

4.3 |1>へHをかける

|1>は[0,1]です。0側は(0+1)/√2=1/√2、1側は(0−1)/√2=−1/√2。したがってH|1>=[1/√2,−1/√2]です。直後の通常測定は50:50ですが、符号が異なります。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit q;
bit result;
reset q;
h q;
result = measure q;

4.4 Hを2回かける

|+>=[1/√2,1/√2]へもう一度Hをかけます。新しい0側は(1/√2+1/√2)/√2=1、新しい1側は(1/√2−1/√2)/√2=0です。結果は[1,0]=|0>です。Hも自分自身が逆操作です。

5.1 Zの規則

Zゲートは状態カード[a,b]を[a,−b]へ変えます。0側は変えず、1側の振幅だけ符号を反転します。

5.2 なぜ[0,−1]も測定では1なのか

0の確率は0²=0、1の確率は(−1)²=1だからです。状態全体に同じ−を付けた[0,−1]と[0,1]は、どの測定でも区別できません。一方、[1/√2,1/√2]と[1/√2,−1/√2]は2成分の間の符号関係が違い、後のHで区別できます。

5.3 H-Z-Hを一行ずつ計算する

5.4 ここで初めて『干渉』と呼ぶ

最後のHでは、0側の新しい振幅を作るために1/√2と−1/√2を足しました。結果は0です。1側では1/√2から−1/√2を引いたので、結果は1です。このように、複数の振幅が同じ出力の振幅計算に入り、足し算または引き算で大きくなったり0になったりすることを干渉と呼びます。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit q;
bit result;
reset q;
h q;
z q;
h q;
result = measure q;

6.1 測定器には答えのラベルが必要

通常のmeasureは、状態を|0>と|1>のどちらとして読むかを返します。しかし|+>と|->を区別したい場合、通常測定の直前にHを置きます。H|+>=|0>、H|->=|1>だからです。

// |->を準備してX基底で測る
x q;
h q;
// X基底測定
h q;
result = measure q;

7.1 2個の古典bitには4通りある

2個のbitを並べると、00、01、10、11の4通りです。2qubitの測定結果も、1 shotではこの4つのどれか1つです。3qubitなら000から111まで2³=8通りです。

7.2 2qubitの状態カード

2qubitでは、各候補00、01、10、11に対応する振幅を4個並べます。本書では[q[0]q[1]]の順に書き、状態カードを[a00,a01,a10,a11]とします。

7.3 添字順と表示順は別問題

本書の説明ではq[0]q[1]の順でbit列を書きます。ただし、SDKや実行サービスが結果文字列をq[1]q[0]の順で表示する場合があります。意味を推測せず、Xを1個だけ置く最小テストで表示規則を確認します。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit[2] q;
bit[2] c;
reset q;
x q[0];
c = measure q;

8.1 規則は『制御が1なら標的へX』

8.2 状態カード全体へ同じ規則を適用する

状態が複数候補の振幅を持つ場合も、各候補へ4行表を適用します。たとえば[1/√2,0,1/√2,0]は00と10が50:50です。CX q[0],q[1]をかけると00は00、10は11へ移るので、[1/√2,0,0,1/√2]になります。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit[2] q;
bit[2] c;
reset q;
x q[0];
cx q[0], q[1];
c = measure q;

8.3 引数を逆にすると別の回路

同じ入力|10>でもcx q[1],q[0]なら、制御q[1]は0なので何も起こらず|10>のままです。制御線と標的線は交換できません。

9.1 Hの後、CXをかける

9.2 『各qubitだけ』を見ると50:50

00と11が半分ずつなので、q[0]だけ見ても0/1が50:50、q[1]だけ見ても0/1が50:50です。しかし2個を一緒に見ると、01と10は出ず、値が必ず一致します。個別の割合だけでは全体の関係を表せません。

9.3 CXは未知状態のコピーではない

制御が|0>または|1>だと、CXは標的を同じZ基底値へそろえるように見えます。しかし制御が|+>なら、出力は『制御|+>、標的|+>』ではなくBell状態です。各qubit単独の同じ状態を2個作ったわけではありません。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit[2] q;
bit[2] c;
reset q;
h q[0];
cx q[0], q[1];
c = measure q;

10.1 1行は原則1つの文

10.2 添字は0から始まる

qubit[3] q;で使える添字は0、1、2です。q[3]は4個目を意味するため範囲外です。個数3と最大添字2を区別します。

10.3 コメントは実行されない説明

// この行の右側は1行コメント
x q[0];  // q[0]を反転
/* 複数行の
   コメント */

10.4 完全なBellプログラム

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
qubit[2] q;
bit[2] c;
reset q;
h q[0];
cx q[0], q[1];
c = measure q;

11.1 測定は最後だけではない

回路の途中でqubitを測り、その結果をbitへ保存できます。そのbitが0か1かによって、後のゲートを変えられる処理系があります。

11.2 resetは|0>へ準備し直す

reset q[0];

11.3 ifで古典bitを確認する

bit m;
m = measure q[0];
if (m == 1) {
  x q[1];
}

11.4 測定したら元の重ね合わせは残らない

たとえば|+>を測ると、結果は0または1です。結果0なら測定後の状態は|0>、結果1なら|1>です。同じqubitを続けてもう一度通常測定すると、理想的には同じ値が出ます。

12.1 型は値の使い方を決める

12.2 inputは回路外から値を受け取る

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
input bit flip;
output bit result;
qubit q;
reset q;
if (flip == 1) {
  x q;
}
result = measure q;

12.3 forは回数が決まった繰り返し

qubit[4] q;
for int i in [0:3] {
  h q[i];
}

iは0、1、2、3と変化し、4個のqubitへHを1回ずつ適用します。[0:3]は終端3を含みます。

12.4 whileは条件が真の間の繰り返し

qubit q;
bit success = 0;
while (success == 0) {
  reset q;
  h q;
  success = measure q;
}

13.1 回転を読むための2枚の地図

これまでは振幅を実数で扱い、＋と−だけを使いました。＋の向きを0度、−の向きを180度と考えると、符号は位相の2つの特別な場合です。一般の量子回路では45度や90度など途中の向きも使います。

13.2 RYで0から1へ連続的に動かす

RY(θ)を|0>へかけると、状態はcos(θ/2)|0>+sin(θ/2)|1>になります。θ=0なら|0>、θ=π/2なら0/1が50:50、θ=πなら|1>です。πは180度なので、π/2は90度です。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
input angle theta;
output bit result;
qubit q;
reset q;
ry(theta) q;
result = measure q;

13.3 RZの見えない違いをHで読む

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
output bit result;
qubit q;
reset q;
h q;
rz(pi) q;
h q;
result = measure q;

13.4 CX-RZ-CXで2qubitの関係へ位相を付ける

最初のCXは、aが1のときだけbを反転します。4通りを並べると、CX後の一時的なbは、aとbが同じ組なら0、違う組なら1になります。つまりbを『同じ／違う』の一時メモとして使えます。

13.5 gateは量子操作の並びに名前を付ける

gate zz_phase(theta) a, b {
  cx a, b;
  rz(theta) b;
  cx a, b;
}
qubit[2] q;
zz_phase(pi / 2) q[0], q[1];

def parity(bit[4] x) -> bit {
  bit p = 0;
  for int i in [0:3] {
    p ^= x[i];
  }
  return p;
}

14.1 出発点は、意図を表すBell回路

この章では、HとCXでBell状態を作る同じ例を最後まで追います。ここで書くq[0]とq[1]は、まだ装置上の部品番号ではありません。まず『Hの後にCXを行い、00または11を得たい』という論理だけを表します。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
output bit[2] result;
qubit[2] q;
reset q;
h q[0];
cx q[0], q[1];
result = measure q;

なぜ物理0から物理2へ直接つながないのでしょうか。実機では、2つのqubitを操作するCXは、装置に物理的な結合（直接リンク）がある組だけに許されるからです。接続が0–1–2なら、0と2は1を飛び越して話せません。古典通信のように信号を遠くへ配る操作ではなく、2qubitゲートそのものが隣接ペア専用です。別の配置を選ぶ、SWAPで隣へ移す、または対応する別の分解を使う、という選択になります。ここでは仕組みが見えるようSWAPを使います。

14.2 barrier・delay・pulseを時間軸で分ける

h q[0];
barrier q;
cx q[0], q[1];

delay[100ns] q[0];

14.3 shotsの揺れとノイズを、出る候補から見分ける

理想Bell状態で出る候補は00と11だけです。100 shotsなら46対54のように割合は揺れますが、理想実行では01と10は出ません。実機で01や10が繰り返し現れるなら、有限shotsだけでは説明できず、ゲートや読み出しの誤差を調べます。

この章で追うものは、候補の名前と振幅の向きの2つです。Hは4候補を準備し、Oracleは10の振幅だけを+1/2から−1/2へ変え、測定はまだ行いません。つまりOracleは『答えを表示する操作』ではなく、『後で増幅できる目印を付ける操作』です。

15.1 まず『何を解くか』と『どう実行するか』を分ける

この章では候補00、01、10、11から、条件に合う候補を探します。条件は『左のbitが1、右のbitが0』です。答え10を箱の中へ直接保存するのではなく、どの候補にも同じ条件を適用できる判定規則を作ります。

15.2 判定関数f(x)を4行で確定する

15.3 X–CZ–Xで10だけを印付けする

CZは11の振幅だけ符号反転します。10を印付けたいので、最初にq[1]へXをかけて10を11へ一時的に移し、CZで符号反転し、最後のXで候補ラベルを10へ戻します。他の候補も一時的に入れ替わりますが、CZに当たるのは元の10だけです。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
output bit[2] result;
qubit[2] q;
reset q;
h q;
x q[1];
cz q[0], q[1];
x q[1];
result = measure q;

16.1 resetからmeasureまでを1行ずつつなぐ

ここでは、最初のresetから最後のmeasureまで、コードの各行で『何が起きるか』と『なぜそうなるか』を切れ目なく追います。候補の順番は[00,01,10,11]、振幅の並びもこの順で固定します。

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";

output bit[2] result;
qubit[2] q;

reset q;

// 均等化
h q;

// Oracle: 10を印付け
x q[1];
cz q[0], q[1];
x q[1];

// Diffusion
h q;
x q;
cz q[0], q[1];
x q;
h q;

result = measure q;

16.2 同じDiffusionを『平均の鏡』で確認する

Oracle後の平均はm=(1/2+1/2−1/2+1/2)/4=1/4です。『平均まわり』とは、平均から上へある値を、同じ距離だけ平均の下へ移すことです。反対に平均より下の値は、同じ距離だけ上へ移ります。代表式は、新振幅=2m−古い振幅です。

16.3 反復しすぎると成功率は下がる

一般には候補数N、正解数Mに対して、およそ√(N/M)回の規模でOracleと拡散を繰り返します。しかし成功振幅は上がり続けず、行き過ぎると下がります。このN=4、M=1の例では1回が最適です。

QAOAは1個のゲート名ではなく、同じ流れを繰り返す枠組みです。最初に全候補を同じ割合で用意し、Costで『良い候補と悪い候補の向き』を変え、Mixerで候補どうしを混ぜ、測定結果を見ます。γとβを変えるのは回路の外側の古典プログラムです。

17.1 第1幕: 4候補へ得点を付ける

2人を別グループへ分ける最小のMaxCutを考えます。x0とx1は0または1で、0ならグループA、1ならBです。別グループなら得点1、同じなら0です。正解は01と10の2個です。

17.2 QUBO式へしても、4行の得点は変わらない

この得点はC(x)=x0+x1−2x0x1と書けます。難しい式として暗記せず、4候補を代入して上の表と同じになることを確認します。

17.4 第2幕: Costの位相をMixerで確率へ変える

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
input angle gamma;
input angle beta;
output bit[2] result;
qubit[2] q;
reset q;
h q;
// U_C(gamma): e^{-i gamma C}
cx q[0], q[1];
rz(-gamma) q[1];
cx q[0], q[1];
// U_B(beta)
rx(2 * beta) q;
result = measure q;

17.5 角度を更新するのは回路の外側

この章での『正しい』には4段階あります。文字として読める、量子状態の計算が意図どおり、装置の制約内で実行できる、実機でも許容範囲に収まる、の順です。前の段階が通っていないのに次の段階を調べても、原因は見つかりません。

18.1 同じBell回路を、2つの版で最後まで読む

移行は単語の一括置換ではありません。まず古いコードが作る状態と理想分布を確定し、その意味を新しい宣言・測定構文で書き直します。題材はHとCXで00/11を作る同じBell回路です。

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";
qreg q[2];
creg c[2];
h q[0];
cx q[0], q[1];
measure q -> c;

OPENQASM 3.1;
include "stdgates.inc";
output bit[2] result;
qubit[2] q;
reset q;
h q[0];
cx q[0], q[1];
result = measure q;